Convenio regulador con custodia

Tengo un bebé de 9 meses y me acabo de separar de su padre, no estábamos casados ni somos pareja de hecho. Llegamos a un acuerdo con convenio regulador que consistía en dos días entre semana con pernocta y fines de semana alternos y no le reclamaba pensión compensatoria de ningún tipo para el pequeño.
Me dijo que hablaría con un abogado para que le redactara el convenio. Mi sorpresa ha sido que ahora, está redactando un convenio de custodia compartida que consiste en una semana cada uno y de la cual, no estoy conforme ya que nuestro hijo es muy pequeño y no puedo estar una semana entera sin verlo y no creo que sea bueno para él tampoco.
Imagino que me presentará el convenio y yo ya le he dicho que no lo aceptaré y presentará demanda (creo que son las intenciones suyas y de su abogado).
Puedo suponer que tendré que presentar yo también demanda y, puesto que no hay acuerdo, me gustaría pedir custodia y patria potestad yo misma.
Tengo trabajo estable y piso propio, el padre de la criatura vive con sus padres ahora mismo y esta de autónomo con trabajo bastante irregular.

Muchas gracias.